Makalah Matematika & Ilmu Alamiah Dasar
Disusun oleh :
Nama :
Rhaeditias Inggartika
Kelas :
1PA13
NPM :
15515863
Mata Kuliah :
Ilmu Alamiah Dasar
Dosen :
Tri Surawan
UNIVERSITAS GUNADARMA
FAKULTAS /JURUSAN PSIKOLOGI
2016
BAB 12
RELASI
7.1.
Pengantar Mengenai Relasi
Relasi, adalah hubungan antara dua elemen himpunan. Hubungan ini bersifat
abstrak, dan tidak perlu memiliki arti apapun baik secara konkret maupun secara
matematis. (WIKIPEDIA)
Relasi dari
himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan anggota-anggota
himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B.
Contoh :
Empat orang
anak yaitu Ria, Rian, Reni, dan Revi memilih jenis musik yang mereka sukai.
Ternyata:
Ria dan Rian
memilih musik pop.
Rian dan Reni
memilih musik rock.
Rian, Reni, dan Revi memilih musik jazz.
Jika A = {Ria,
Rian, Reni, Revi} dan B = {pop, rock, jazz}, maka dapat dibentuk relasi
(hubungan) antara anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B.
Relasi yang tepat dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi “menyukai”.
Ria
dipasangkan dengan pop, berarti Ria menyukai musik pop, Rian dipasangkan dengan
pop, rock, dan jazz, berarti Rian menyukai tiga jenis musik, yaitu musik pop,
rock, dan jazz, Reni dipasangkan dengan rock dan jazz, berarti Reni menyukai
dua jenis musik, yaitu musik rock dan jazz, sedangkan Revi dipasangkan dengan
jazz, berarti Revi menyukai musik jazz. Relasi terebut dapat ditunjukkan dengan
jelas pada gambar dibawah ini.
1. Menyatakan
Relasi
Relasi antara
dua himpunan dapat dinyatakan dengan diagram panah, diagram cartesius dan
himpunan pasangan berurutan. Contoh : Empat orang anak yaitu
Tias, Jamal, Farid, dan Dika memilih permainan yang mereka gemari. Ternyata:
Tias, Jamal,
dan Farid memilih permainan voli.
Jamal dan
Farid memilih permainan basket.
Farid dan Dika memilih permainan tenis.
Jika himpunan
A = {Tias, Jamal, Farid, Dika} dan himpunan B = {voli, basket, tenis}. Terdapat
relasi gemar bermain dari himpunan A ke himpunan B.
a. Dinyatakan dengan diagram panah,
b. Dinyatakan dengan diagram cartesius
c. Dinyatakan dengan himpunan pasangan
berurutan.
{(Tias, Voli),
(Jamal, Voli), (Jamal, Basket), (Farid, Voli), (Farid, Basket), (Farid, Tenis),
(Dika, Tenis)}
Fungsi
Fungsi
dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan setiap anggota
himpunan A(daerah asal atau domain), dengan tepat satu
anggota himpunan B(daerah kawan atau kodomain). Himpuan nilai
yang diperoleh disebut daerah hasil (range).
Contoh : Hardi adalah
anak Pak Manan, Nanda anak Pak Udin, Indri dan Aldi anak Pak Drajat. Jika
himpunan A = {Hardi, Nanda, Indri, Aldi} dan himpunan B = {Manan, Udin,
Drajat}. Terdapat relasi anak dari himpunan A ke himpunan B, fungsi tersebut
dapat digambarkan sebagai berikut.
1. Menyatakan Fungsi
Menyatakan
fungsi dalam diagram panah, diagram cartesius, dan pasangan berurutan. Contoh
:
Misalkan A =
{1, 2, 3} dan B = {-3, -2, -1, 0, 1, 2}. Jika fungsi f : A → B ditentukan
dengan f(x) = 6 – 3x. Nyatakan dalam diagram panah, diagram
cartesius, dan pasangan berurutan
Penyelesaian :
f(1) = 6 – 3 (1) = 6 – 3= 3
f(2) = 6 – 3(2) = 6 – 6 = 0
f(3) = 6 – 3(3) = 6 – 9 = -3
Diagram Panah
Diagram Cartesius
Himpunan Pasangan Berurutan
{(1, 3), (2, 0), (3, -3)}
7.2.
Produk Cartesius dan Relasi
Produk
cartesius A dengan B :
Himpunan semua
pasangan terurut (a, b) untuk setiap aεA, bεB
notasi : A x B
A x B = { (x,
y) | x εA, yεB }
notasi : produk cartesius A x A
= A2
Contoh:
A ´ B = {(1, p), (2, p), (3, p), (1, q), (2,
q), (3, q) }
B ´ A = {(p, 1), (p, 2), (p, 3), (q, 1), (q,
2), (q, 3) }
Banyaknya
pasangan terurut elemen A x B = 6 pasangan
7.3.
Penyajian Matriks Relasi dan Diagram Panah
Macam Penyajian Relasi Antar 2 Himpunan
1. Diagram
Panah
Himpunan E sebagai domain (daerah asal)
diletakkan di sebelah kiri, dan himpunan F sebagai kodomain (kodomain)
diletakkan di sebelah kanannya. Relasi antara himpunan E dan F ditunjukkan
dengan arah panah. Seperti gambar di bawah ini
2. Himpunan Pasangan Berurutan
Jika x elemen E dan y elemen F,
maka relasi dari E ke F dapat dinyatakan dengan pasangan berurutan (x, y). Dari
diagram panah di atas dapat dituliskan himpunan pasangan berurutannya sebagai
berikut: {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 4), (2, 6), (3, 4), (3, 6), (4, 6), (5,
6)}.
3. Diagram Cartesius
Pada koordinat cartesius daerah asal (domain)
diletakkan pada sumbu X (sumbu mendatar) dan daerah kawan (kodomain) diletakkan
pada sumbu Y (sumbu tegak). Sedangkan daerah hasilnya merupakan titik (noktah)
koordinat pada diagram cartesius. Dari relasi di atas, dapat ditunjukkan
diagram cartesiusnya seperti di bawah ini:
Matriks Relasi/Tabel
Baris matrik menyatakan anggota himpunan A.
Kolom matrik menyatakan anggota himpunan B.
Elemen baris ke i kolom ke j matriks kita isi
angka 1 bila ada kaitan antara anggota ke i (dari A) dengan anggota ke j (dari
B)
(i, j) εR
Dalam hal lain matriks kita isi dengan 0
Penyajian Matriks Relasi
R = {(1, p), (1, q), (2, q), (3, p)}
Diagram Panah
jika, aεA dan bεB
maka, (a, b) εR (buat anak panah dari
a ke b)
Penyajian Diagram Panah
R = {(1, p), (1, q), (2, q), (3, p)}
7.4.
Relasi Invers
Relasi Invers
R = { (a, b) |
aεA, bεB }
R-1 = {
(b, a) | bεB, aεA}
R dalam penyajian koordinat diperoleh dengan
menukar sumbu x menjadi y dan sebaliknya
Contoh:
1) R = {
(1,1), (4,2), (16,4) }
maka,
R-1 =
{(1,1), (2,4), (4,16) }
2) R adalah “x
adalah istri dari y”
maka,
inversnya adalah “ x adalah suami dari y ”
Relasi matriks dalam bentuk
invers disajikan oleh matriks MT (transpose matriks M)
Contoh: Jika M adalah matriks yang
merepresentasikan relasi R,
M =
Relasi R–1, transpose terhadap matriks M,
7.5.
Komposisi Relasi
Misalkan:
R = relasi himpunan A ke himpunan B
S = relasi dari himpunan B ke himpunan C.
S o R = {(a, c) ½ aεA, cεC, dan untuk beberapa bεB, (a, b) εR dan (b, c)εS }
Misalkan: Relasi
dari himpunan {1, 2, 3} ke himpunan {2, 4, 6, 8} adalah
R = {(1, 2), (1, 6), (2, 4), (3, 4), (3, 6),
(3, 8)}
Relasi dari himpunan {2, 4, 6, 8} ke himpunan
{s, t, u}.
S = {(2, u),
(4, s), (4, t), (6, t), (8, u)}
Maka komposisi
relasi R dan S adalah
S o R = {(1, u), (1, t), (2, s), (2, t), (3, s), (3, t), (3, u) }
Komposisi
relasi R dan S
7.6.
Sifat Relasi
Misal R sebuah
relasi pada himpunan A
- Refleksi
(a,a) εR untuk aεA
- Simetris
(a,b) εR, berlaku (b,a) ε R
- Transitif
(a,b) εR,
(b,c) εR
berlaku (a,c) εR
- Anti
Simetri (a,b) εR,
(b,a) εR
berlaku a = b
7.7.
Partisi
Relasi R
disebut sebagai sebuah relasi pengurutan sebagian (partial ordering), jika
relasi tersebut bersifat refleksif, transitif dan antisimetris.
Contoh 1
Diketahui A = { 1, 2, 3 }. Pada A
didefinisikan relasi
R3
= {
(1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,1) , (3,3) }. Relasi R3 tersebut bersifat refleksif
dan transitif, tetapi tidak bersifat antisimetris. Oleh karena itu relasi
tersebut bukan merupakan relasi pengurutan sebagian.
Contoh 2
maka R4 = {
(2,2) , (4,4) , (5,5) , (4,2) }.Î x kelipatan y , x,y |
Diketahui B = { 2, 4, 5 }. Pada B
didefinisikan relasi R4 = { (x,y)
Relasi R4
tersebut bersifat refleksif, antisimetris dan transitif. Oleh karena itu relasi
tersebut merupakan relasi pengurutan sebagian.
SUMBER
Tidak ada komentar:
Posting Komentar