Makalah Matematika & Ilmu Alamiah Dasar
Disusun oleh :
Nama :
Rhaeditias Inggartika
Kelas :
1PA13
NPM :
15515863
Mata Kuliah :
Ilmu Alamiah Dasar
Dosen :
Tri Surawan
UNIVERSITAS GUNADARMA
FAKULTAS /JURUSAN PSIKOLOGI
2016
BAB 15
Logika
1. Konsep dan
Notasi Dasar Pada Proposisi
Proposisi
Di dalam
matematika, tidak semua kalimat berhubungan dengan logika. Hanya kalimat yang
bernilai benar atau salah saja yang digunakan dalam penalaran. Kalimat tersebut
dinamakan proposisi (preposition).
Proposisi
adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak dapat sekaligus keduanya.
Kebenaran atau kesalahan dari sebuah kalimat disebut nilai kebenarannya (truth value). Contoh berikut ini dapat mengilustrasikan
kalimat yang merupakan proposisi dan mana yang bukan.
Contoh 1.1
a) 6 adalah bilangan genap
b) Soekarno adalah Presiden
Indonesia yang pertama
c) 2 + 2 = 4
d) Ibukota Provinsi Jawa
Barat adalah Semarang
e) 12 ≥ 19
f) Kemarin hari hujan
g) Suhu di permukaan laut
adalah 21 derajat celcius
h) Pemuda itu tinggi
i) Kehidupan hanya ada
di Planet Bumi
Semuanya merupakan proposisi. Proposisi a, b, c
bernilai benar, tetapi proposisi d salah karena ibukota Jawa Barat seharusnya
Bandung dan proposisi e bernilai salah karena seharusnya 12 ≤ 19. Proposisi f
sampai I memang tidak dapat langsung ditetapkan kebenarannya, namun satu hal
yang pasti, proposisi-proposisi tersebut tidak mungkin benar dan salah sekaligus.
Kita bisa menetapkan nilai proposisi tersebut benar atau salah. Misalnya,
proposisi f bias kita andaikan benar (hari kemarin memang hujan) atau salah
(hari kemarin tidak hujan). Demikian pula halnya untuk proposisi g dan h.
Proposisi i bisa benar atau salah, karena sampai saat ini belum ada ilmuwan
yang dapat memastikan kebenarannya.
Contoh 1.2
a) Jam berapa kereta api Argo
Bromo tiba di Gambir?
b) Serahkan uangmu sekarang!
c) x + 3 = 8
d) x > 3
bukan proposisi. Kalimat a adalah kalimat
Tanya, sedangkan kalimat b adalah kalimat perintah, keduanya tidak mempunyai
nilai kebenaran. Dari contoh 1.1 dan 1.2 di atas, dapat disimpulkan bahwa
proposisi selalu dinyatakan sebagai kalimat berita, bukan sebagai kalimat Tanya
maupun kalimat perintah. Kalimat c dan d bukan proposisi karena kedua kalimat
tersebut tidak dapat ditentukan benar maupun salah sebab keduanya mengandung
peubah (variable) yang tidak dispesifikasikan nilainya. Tetapi kalimat
“Untuk sembarang bilangan bulat n ≥ 0, maka 2n adalah
bilangan genap”
Bidang
logika yang membahas proposisi dinamakan kalkulus proposisi(propositional calculus) atau logika proposisi (propositional logic).
Secara
simbolik, proposisi biasanya dilambangkan dengan huruf kecil sepertip, q, r, …. misalnya,
p: 6 adalah bilangan genap,
Untuk mendefinisikan p sebagai proposisi “6
adalah bilangan genap”. Begitu juga untuk
q : soekarno adalah Presiden Indonesia yang
pertama.
r : 2 + 2 = 4. dan sebagainya.
Mengkombinasikan Proposisi
Operator
yang digunakan untuk mengkombinasikan proposisi disebutoperator logika. Operator logika dasar yang
digunakan adalah dan (and),atau (or), dan tidak (not). Dua operator pertama dinamakan operator binerkarena operator tersebut mengoperasikan dua buah
proposisi, sedangkan operator ketiga dinamakan operator uner karena ia hanya membutuhkan satu buah
proposisi.
Proposisi
baru yang diperoleh dari pengkombinasian tersebut dinamakanproposisi majemuk (compound proposition).
proposisi yang bukan merupakan kombinasi proposisi lain disebut proposisi atomik. Proposisi majemuk ada tiga macam,
yaitu konjungsi, disjungsi, dan ingkaran. Ketiganyadidefinisikan sebagai
berikut:
DEFINISI.
Misalkan dan adalah proposisi. Konjungsi (conjunction) dan ,
dinyatakan dengan notasi , adalah proposisi
p dan
Disjungsi (disjunction)
dan , dinyatakan dengan notasi , adalah proposisi
p atau
Ingkaran atau (negation) dari ,
dinyatakan dengan p, adalah proposisi tidak p
Catatan:
1.
Beberapa literatur menggunakan notasi “p”, ””, atau ”not p” untuk menyatakan lingkaran.
2.
Kata “tidak” dapat dituliskan di tengah
pernyataan. Jika kata “tidak” diberikan di awal pernyataan maka ia biasanya
disambungkan dengan kata “benar” menjadi “tidak benar”. Kata “tidak” dapat juga
diganti dengan “bukan” bergantung dengan rasa bahasa yang tepat untuk
pernyataan tersebut.
Berikut contoh-contoh proposisi majemuk dan
notasi simboliknya. Ekspresi proposisi majemuk dalam notasi simbolik disebut
juga ekspresi logika.
Contoh 1.2
Diketahui proposisi-proposisi berikut:
p: Hari ini hujan
q : Murid-murid diliburkan dari sekolah
Maka
pq : Hari ini hujan dan murid-murid
diliburkan dari sekolah
pq : Hari ini hujan atau murid-murid
diliburkan dari sekolah
p : Tidak benar hari ini hujan (atau dalam
kalimat lain yang lebih lazim: Hari ini tidak hujan)
2.
Nilai Kebenaran Setiap Variabel
Nilai
kebenaran dari proposisi majemuk ditentukan oleh nilai kebenaran dari proposisi
atomiknya dan cara mereka dihubungkan oleh operator logika.
1.
Misalkan p dan q adalah
proposisi.
·
Konjungsi p ^ q bernilai benar jika p dan q keduanya
benar, selain itu nilainya salah
·
Disjungsi p v q bernilai salah jika p dan q keduanya
salah, selain itu nilainya benar
·
Negasi p, yaitu ~p,
bernilai benar jika p salah, dan sebaliknya
Misalkan
p: 17 adalah bilangan prima
q: bilangan prima selalu ganjil
Jelas
bahwa p bernilai benar dan q bernilai salah sehingga konjungsi p ^ q: 17 adalah bilangan
prima dan bilangan prima selalu ganjil adalah salah. Satu cara yang praktis
untuk menentukan nilai kebenaran proposisi majemuk adalah menggunakan tabel
kebenaran. Tabel kebenaran menampilkan hubungan antara nilai kebenaran dari
proposisi atomik. Tabel 1.1 menunjukkan tabel kebenaran untuk konjungsi,
disjungsi, dan ingkaran. Pada tabel tersebut, T=true(benar), dan F=false(salah).
Tabel 1.1 Tabel kebenaran konjungsi, disjungsi, dan
ingkaran
|
P
|
Q
|
p
^ q
|
|
T
|
T
|
T
|
|
T
|
F
|
F
|
|
F
|
T
|
F
|
|
F
|
F
|
F
|
|
P
|
Q
|
p
v q
|
|
T
|
T
|
T
|
|
T
|
F
|
T
|
|
F
|
T
|
T
|
|
F
|
F
|
F
|
|
P
|
q
|
|
T
|
F
|
|
F
|
T
|
Contoh soal: Jika p, q, radalah proposisi. Bentuklah tabel kebenaran dari
ekspresi logika
(p ^ q)
v (~q ^ r)
Penyelesaian:
Ada 3 buah
proposisi atomic di dalam ekspresi logika dan setiap proposisi hanya mempunyai
2 kemungkinan nilai, sehingga jumlah kombinasi dari semu proposisi tersebut
adalah buah. Tabel kebenaran dari proposisi (p ^ q) v (~q ^ r)
ditunjukkan pada tabel 1.2.
Tabel 1.2 tabel kebenaran proposisi (p ^ q) v (~q ^ r)
|
P
|
Q
|
r
|
p
^ q
|
~q
|
~q
^ r
|
(p
^ q) v (~q ^ r)
|
|
T
|
T
|
T
|
T
|
F
|
F
|
T
|
|
T
|
T
|
F
|
T
|
F
|
F
|
T
|
|
T
|
F
|
T
|
F
|
T
|
T
|
T
|
|
T
|
F
|
F
|
F
|
T
|
F
|
F
|
|
F
|
T
|
T
|
F
|
F
|
F
|
F
|
|
F
|
T
|
F
|
F
|
F
|
F
|
F
|
|
F
|
F
|
T
|
F
|
T
|
T
|
T
|
|
F
|
F
|
F
|
F
|
T
|
F
|
F
|
Proposisi majemuk dapat selalu bernilai benar
untuk berbagai kemungkinan nilai kebenaran masing-masing proposisi atomiknya,
atau selalu bernilai salah untuk berbagai kemungkinan nilai kebenaran
masing-masing proposisi atomiknya. Jadi, sebuah proposisi majemuk disebut tautologi jika ia benar untuk semua kasus,
sebaliknya disebut kontradiksi jika
ia salah untuk semua kasus.
Yang dimaksud dengan “semua kasus” di dalam
definisi si atas adalah semua kemungkinan nilai kebenaran dari proposisi
atomiknya. Proposisi tautologi dicirikan pada kolom terakhir pada tabel
kebenarannya hanya memuat True. Proposisi
kontradiksi dicirikan pada kolom terakhir pada tabel kebenarannya hanya
memuat False.
Hukum – Hukum Proposisi
Proposisi, dalam kerangka hubungan ekivalen
logika, memenuhi sifat-sifat yang dinyatakan dalam sejumlah hukum pada tabel di
bawah.Beberapa hukum tersebut mirip dengan hukum aljabar pada system bilangan
riil, misalnya a(b + c) = ab + ac, yaitu hukum distributif, sehingga
kadang-kadang hukum logika proposisi dinamakan juga hukum-hukum aljabar proposisi.
|
1.
Hukum identitas
i.
p v F ó p
ii.
p ^ T ó p
|
2.
Hukum null dominasi
i.
p ^ F ó F
ii.
p v T ó T
|
|
3.
Hukum negasi
i.
p v ~p ó T
ii.
p ^ ~p ó F
|
4.
Hukum idempotent
i.
p v p ó p
ii.
p ^ p ó p
|
|
5.
Hukum involusi
~(~p)
ó p
|
6.
Hukum penyerapan
i.
p v (p ^ q) ó p
ii.
p ^ (p v q) ó p
|
|
7.
Hukum komutatif
i.
p v q ó q v p
ii.
p ^ q ó q ^ p
|
8.
Hukum assosiatif
i.
p v (q v r) ó (p v q) v r
ii.
p ^ (q ^ r) ó (p ^ q) ^ r
|
|
9.
Hukum distributif
i.
p v (q ^ r) ó (p v q) ^ (p v r)
ii.
p ^ (q v r) ó (p ^ q) v (p ^ r)
|
10.
Hikum de morgan
i.
~(p ^ q) ó ~p v ~q
ii.
~(p v q) ó ~p ^ ~q
|
Hukum-hukum logika di atas bermanfaat untuk
membuktikan ke-ekivalenan dua buah proposisi. Selain menggunakan tabel
kebenaran, ke-ekivalenan dapat dibuktikan dengan hukum-hukum logika, khususnya
pada proposisi majemuk yang mempunyai banyak proposisi atomik. Bila suatu
proposisi majemuk mempunyai n buah proposisi atomic, maka table kebenarannya
terdiri dari baris. Untuk n yang besar
jelas tidak praktis menggunakan tabel kebenaran, misalnya untuk n=10 terdapat baris di dalam tabel kebenarannya.
Implikasi
Adalah suatu
pernyataan majemuk p dan q yang digabung dengan memakai kata hubung logika
“jika…maka…”.
Implikasi
suatu pernyataan dilambangkan dengan p→q. Dibaca :
1.
Jika p maka q
2.
p berimplikasi q
3.
q hanya jika p
4.
p syarat cukup untuk q
5.
q syarat perlu untuk p
Pada implikasi,
p disebut anteseden (hipotesis), q disebut konklusi (kesimpulan).
Nilai
kebenaran: untuk p→q bernilai salah hanya berlaku untuk p pernyataan
bernilai benar dan q pernyataan bernilai salah.
|
P
|
q
|
p→q≡¬pVq
|
|
B
|
B
|
B
|
|
B
|
S
|
S
|
|
S
|
B
|
B
|
|
S
|
S
|
B
|
3.
Tautologi dan Kontradiksi
TAUTOLOGI
Tautologi
adalah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk
semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya.
Sebuah Tautologi yang memuat pernyataan Implikasi disebut Implikasi Logis.
Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan Tautologi, maka ada dua cara yang
digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua
pilihan bernilai B (benar) maka disebut Tautologi, dan cara kedua yaitu dengan
melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12
hukum-hukum Ekuivalensi Logika.
Contoh: Lihat pada argumen berikut
Jika Tono pergi kuliah, maka Tini juga pergi
kuliah. Jika Siska tidur, maka Tini pergi kuliah. Dengan demikian, jika Tono
pergi kuliah atau Siska tidur, maka Tini pergi kulah.
Diubah ke variabel proposional:
A. Tono pergi kuliah
B. Tini pergi kuliah
C. Siska tidur
Diubah lagi menjadi ekspresi logika yang
terdiri dari premis-premis dan kesimpilan. Ekspresi logika 1 dan 2 adalah
premis-premis, sedangkan ekspresi logika 3 adalah kesimpulan.
(1) A →
B (Premis)
(2) C →
B (premis)
(3) (A V C) → B (kesimpulan)
Maka sekarang dapat ditulis: ((A → B) ÊŒ (C →
B)) → ((A V C) → B
|
A
|
B
|
C
|
A → B
|
C → B
|
(A →
B) ÊŒ (C → B)
|
A V C
|
(A V
C) → B
|
|
|
B
B
B
B
S
S
S
S
|
B
B
S
S
B
B
S
S
|
B
S
B
S
B
S
B
S
|
B
B
S
S
B
B
B
B
|
B
B
S
B
B
B
S
B
|
B
B
S
S
B
B
S
B
|
B
B
B
B
B
S
B
S
|
B
B
S
S
B
B
S
B
|
B
B
B
B
B
B
BB
|
Dari
tabel kebenaran diatas menunjukkan bahwa pernyataan majemuk :
Contoh
tautologi dengan menggunakan tabel kebenaran:
1.
(p ʌ ~q) p
Pembahasan:
|
P
|
q
|
~q
|
(p
ʌ ~q)
|
(p
ʌ ~q) p
|
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
S
B
S
B
|
S
B
S
S
|
B
B
B
B
|
Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan
Tautologi dengan alasan yaitu semua pernyataannya bersifat benar atau True (T).
maka dengan perkataan lain pernyataan majemuk (p
ʌ ~q) p selalu benar.
2.
[(p q) ʌ p] p q
Pembahasan:
|
P
|
q
|
(p q)
|
(p q) ʌ p
|
[(p q) ʌ p] p q
|
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
S
B
B
|
B
S
S
S
|
B
B
B
B
|
(1)
(2)
(3) (4) (5)
Berdasrkan tabel diatas pada kolom 5, nilai
kebenaran pernyataan majemuk itu adalah BBBB. Dengan perkataan lain, pernyataan
majemuk [(p q) ʌ p] p q selalu benar
Pembuktian
dengan cara kedua yaitu dengan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan
sebagian dari 12 hukum-hukum ekuivalensi logika.
Contoh:
1.
(p ʌ q) q
Penyelesaian:
(p ʌ q) q ~(p ʌ
q) v q
~p v ~q v q
~p v T
T ………….(Tautologi)
Dari pembuktian diatas telah nampaklah bahwa
pernyataan majemuk dari (p ʌ q) q adalah tautologi karena
hasilnya T (true) atau benar.
Pembuktian dengan menggunakan tabel kebenaran
dari pernyataan majemuk (p ʌ q) q yaitu:
|
P
|
q
|
(p ʌ
q)
|
(p ʌ
q) q
|
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
S
S
S
|
B
B
B
T
|
Pada tabel diatas nampaklah bahwa kalimat
majemuk (p ʌ q) q merupakan Tautologi.
1.
q (p v q)
penyelesaian:
q (p v
q) ~q v (p v q)
~q v (q v p)
T v p
T …………(Tautologi)
KONTRADIKSI
Kontradiksi adalah kebalikan dari tautologi
yaitu suatu bentuk pernyataan yang hanya mempunyai contoh substansi yang salah,
atau sebuah pernyataan majemuk yang salah dalam segala hal tanpa memandang
nilai kebenaran dari komponen-komponennya. Untuk membuktikan apakah suatu
pernyataan tersebut kontradiksi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama
dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai
F atau salah maka disebut kontradiksi, dan cara kedua yaitu dengan
melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12
hukum-hukum Ekuivalensi Logika.
Contoh dari Kontradiksi:
1.
(A ʌ ~A)
Pembahasan:
|
A
|
~A
|
(A ʌ ~A)
|
|
B
S
|
S
B
|
S
S
|
Dari
tabel kebenaran diatas dapatlah disimpulkan bahwa pernyataan majemuk
(A ʌ ~A) selalu salah.
2.
P ʌ (~p ʌ q)
Pembahasan:
|
P
|
q
|
~p
|
(~p ʌ
q)
|
P ʌ
(~p ʌ q)
|
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
S
S
B
B
|
S
S
B
S
|
S
S
S
S
|
Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan
kontradiksi dengan alasan yaitu semua pernyataan bernilai salah (F).
4.
Ekivalensi Logika
1.
Ekuivalensi Logika
Dua atau lebih pernyataan majemuk yang
mempunyai nilai kebenaran sama disebut ekuivalensi logika dengan notasi
“ dua buah pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen, jika kedua pernyataan
majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan nilai
kebenaran pernyataan-pernyataan komponen-komponennya.
Hukum-Hukum Ekuivalensi Logika:
1.
Hukum komutatif:
p ʌ q q ʌ
p
p v q
q v p
2.
Hukum asosiatif:
(p ʌ q) ʌ r p ʌ (q ʌ r)
(p v q) v r p v (q v r)
3.
Hukum distributif:
p ʌ (q v r) (p ʌ q) v (p ʌ r)
p v (q ʌ r) (p v q) ʌ (p v r)
4.
Hukum identitas:
p ʌ T p
p v F p
5.
Hukum ikatan (dominasi):
P v T T
P v F F
6.
Hukum negasi:
P v ~p T
P ʌ ~p F
7.
Hukum negasi ganda (involusi):
~(~p) p
8.
Hukum idempoten:
P ʌ p p
p v p p
9.
Hukum de morgan:
~( p ʌ q) ~p v ~q
~(p v q) ~p ʌ ~q
10. Hukum penyerapan (absorpsi):
p v (P ʌ q) p
P ʌ (p v q) p
11. Hukum T dan F:
~T = F
~F = T
12. Hukum implikasi ke and/or:
P q ~p v q
Dengan
adanya hukum-hukum diatas, penyelesaian soal-soal baik yang bersifat tautologi,
kontradiksi dan ekuivalensi logika tidak hanya menggunakan tabel kebenaran
namun juga bisa dengan menggunakan jalan penurunan yaitu dengan memanfaatkan 12
(dua belas) hukum-hukum ekuivalensi logika tersebut.
5. Hukum-hukum Pada Aljabar Proposisi
Hukum-Hukum Aljabar Proposisi
Setiap proposisi yang saling ekuivalen dapat
dipertukarkan atau diganti antara satu dengan yang lainnya. Dibawah ini
disajikan daftar aturan penggantian untuk keperluan deduksi,
1. Hukum Idempoten (Idem)
a. p∨q ek
p
b. p∧p ek p
2. Hukum Asosiatif (As)
a. (p∨q)∨r ek p∨(q∨r)
b. (p∧q)∧r ek p∧(q∧r)
3. Hukum Komutatif (Kom)
a. p∨q ek q∨p
4. Hukum Distributif (Dist)
a. p∨(q∧r) ek (p∨q)∧(p∨r)
b. p∧(q∨r) ek (p∧q)∨(p∧r)
5. Hukum identitas (Id)
a. p∨F ek p
b. p∨B ek B
c. p∧S ek S
d. p∧T ek p
6. Hukum Komplemen (Komp)
a. p∨∼p ek B
b. p∧∼p ek S
c. ∼(∼p) ek p
d. ∼B ek S
7. Hukum Transposisi
p⇒q ek ∼q⇒∼p
8.Hukum Implikasi (Imp)
p⇒q ek ∼p∨q
9.Hukum Ekivalensi (Eki)
a. p⇔q ek (p⇒q)∧(q⇒p)
b. p⇔q ek (p∧q)∨(∼q∧∼p)
10.Hukum Eksportasi (Eks)
(p∧q) ⇒r ek p⇒(q⇒r)
11.Hukum De Morgan
a. ∼(p∨q)
ek ∼p∧∼q
b. ∼(p∧q)
ek ∼p∨∼q
6. Implikasi Logik
Implikasi
Logis
“jika Andi rajin belajar maka Andi naik kelas”
Jika pada kenyataannya Andi rajin belajar maka
sebagai konskuensi logis dari pernyataan di atas pasti Andi naik kelas.
Misal p: Andi
rajin belajar
q: Andi naik kelas
maka ((p→q)∧p)→q, nilainya akan selalu benar.
|
P
|
q
|
p→q
|
((p→q)∧p)
|
((p→q)∧p)→q
|
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
7.
Fungsi Proposisi dan Himpunan Kebenaran
Misalkan P(x) merupakan sebuah pernyataan yang
mengandung variabel x dan D adalah sebuah himpunan (sembarang kumpulan obyek).
Kita menyebut P sebuah fungsi proposisi (dalam D) jika untuk setiap x di D,
P(x) adalah proposisi.
Contoh :
- Misalkan P(n) adalah pernyataan, n adalah bilangan ganjil dan
D adalah himpunan bilangan bulat positif. Maka P adalah fungsi proposisi
dengan daerah asal pembicaraan D karena untuk setiap n di D, P(n) adalah
proposisi (yakni, untuk setiap n di D, P(n) bisa bernilai benar atau salah
tetapi tidak keduanya). Jika n=1, dapat diperoleh proposisi. 1 adalah
bilangan ganjil bernilai benar. Jika n=2, diperoleh proposisi 2 adalah
bilangan ganjil bernilai salah.
- Fungsi proposisi “x+2>7” yang didefinisikan pada N, yakni
himpunan bilangan asli. Maka {x | x ÃŽ N,
x+2>7} = {6,7,8,…}adalah himpunan kebenarannya.
8.Penggunaan Pengukur Jumlah Universal dan Eksistensial
PENGUKUR JUMLAH (QUANTIFIER)
Salah satu cara untuk menentukan nilai
kebenaran dari suatu predikat adalah dengan menggunakan batasan nilai yang
disebut pengukur jumlah (Quantifier) dari variabel‐variabelnya. Pengukur jumlah tersebut adalah :
A. Pengukur Jumlah Universal
Misalkan A sebuah penyataan,
dan x menyatakan suatu variabel. Jika kita ingin menunjukkan
bahwa A bernilai benar untuk semua kemungkinan nilai x,
kita tuliskan ∀xA. ∀x disebut pengukur jumlah universal (universal
quantifier), dan A dikatakan sebagai ruang lingkup (scope)
dari pengukur jumlah tersebut. Variabel x dikatakan menjadi
variabel terbatas (bound) dari pengukur jumlah tersebut. Simbol ∀ dibaca
“Untuk semua”.
Untuk pernyataan “Semua kucing punya ekor”
dapat kita nyatakan dalam kalkulus predikat sebagai :
∀x (Kucing(x)⇒PunyaEkor(x))
B. Pengukur Jumlah Eksistensial (∃)
Misalkan A sebuah penyataan, dan x menyatakan
suatu variabel. Jika kita ingin menunjukkan bahwa A bernilai benar untuk
sedikitnya satu nilai x, kita tuliskan ∃x A, yang dibaca “Ada satu x yang memenuhi
A”. ∃x
disebut pengukur jumlah eksistensial (existential quantifier), dan A dikatakan
sebagai ruang lingkup (scope) dari pengukur jumlah tersebut. Variabel x dikatakan
menjadi variabel terbatas (bound) dari pengukur jumlah tersebut.
Contohnya, jika domain berupa sekumpulan benda,
maka ∃xBlue(x)
menyatakan bahwa “Ada benda yang berwarna biru”. Semua pengukur jumlah tersebut
diperlakukan seperti operator uner, yang mempunya tingkat presedensi lebih
tinggi daripada operator biner. Sebagai contoh, misalkan P(x) mewakili
pernyataan “x hidup” dan Q(x) untuk “x mati” maka
∀x (P(x) ∨ Q(x)) diartikan bahwa “semua hidup atau
mati” tetapi
∀x P(x) ∨ Q(x) diartikan “semua hidup atau x mati”
Variabel x dalam suatu pengukur jumlah dapat
digantikan dengan variabel lain tanpa merubah arti dari seluruh pernyataan yang
diwakilinya. Misalkan ∀xP(x) dengan ∀yP(y) adalah hal yang sama; dan secara logika
keduanya ekivalen. Pernyataan ∀yP(y) disebut sebagai variant dari ∀xP(x).
Pengukur jumlah (quantifier) mungkin terjadi
secara bersarang. Dimana ada suatu pengukur jumlah dalam satu pernyataan yang
didalamnya mengandung suatu pengukur jumlah yang lain.
9. Negasi Ingkaran dan Contoh Ingkaran
1.
Ingkaran atau Negasi
Dari sebuah pernyataan tunggal (atau majemuk),
kita bisa membuat sebuah pernyataan baru berupa “ingkaran” dari pernyataan itu.
“ingkaran” disebut juga “negasi” atau “penyangkalan”. Ingkaran menggunakan
operasi uner (monar) “” atau “”.
Jika suatu pernyataan p benar, maka negasinya p
salah, dan jika sebaliknya pernyataan p salah, maka negasinya p benar.
Perhatikan cara membuat ingkaran dari sebuah
pernyataan serta menentukan nilai kebenarannya!
1. p
: kayu memuai bila dipanaskan (S)
~ p : kayu tidak memuai bila dipanaskan (B)
2. r
: 3 bilangan positif (B)
~ r :
(cara mengingkar seperti ini salah)
3 bilangan negative
(Seharusnya) 3 bukan bilangan positif (S)
Nilai kebenaran
Jika p suatu pernyataan benilai benar,
maka ~p bernilai salah dan sebaliknya jika p bernilai salah maka ~p
bernilai benar.
Tabel kebenaran:
2.
Konjungsi
Gabungan
dua pernyataan tunggal yang menggunakan kata
penghubung “dan” sehingga terbentuk pernyataan
majemuk disebut konjungsi. Konjungsi mempunyai kemiripan dengan operasi
irisan () pada himpunan. Sehingga sifat-sifat
irisan dapat digunakan untuk mempelajari bagian
ini. Operasi konjungsi sering juga ditunjukkan dengan hubungan seri pada
rangkaian listrik seperti gambar berikut:
Gambar rangkaian seri
Dari gambar rangkaian diatas menggunakan saklar
symbol saklar 1 diberi symbol p dan saklar 2 diberi symbol q. Saklar terbuka
(off) sebagai pernyataan benar, saklar tertutup (on) sebagai pernyataan
salah. Lampu yang dipasang pada rangkaian sebagai kebenaran dari pernyataan
tersebut.
1.
Jika saklar p dan q tertutup (on) ternyata
lampu menyala maka pernyataan bernilai benar
2.
Jika salah satu saklar p atau q terbuka (off)
ternyatalampu tidak menyala maka pernyataan bernilai salah.
3.
Jika keduanya saklar p dan q terbuka (off)
ternyata lampu juga tidak menyala, maka pernyataan bernilai salah.
Berdasar
kasus di atas, dapat disimpulkan bahwa suatu konjungsi p ∧ q
pada lampu akan menyala hanya jika komponen-komponennya, yaitu baik p maupun q,
keduanya sama-sama tertutup sedangkan nilai kebenaran yang selain itu tidak
menyala sebagaimana ditunjukkan pada tabel kebenaran berikut:
Tabel Kebenaran Konjungsi
Contoh
Tentukan
nilai kebenaran dari pernyataan majemuk pq berikut ini!
a. p
: 100 + 500 = 800
q
: 4 adalah faktor dari 12
b. p
: Pulau Bali dikenal sebagai
pulau Dewata
q
: 625 adalah bilangan kuadrat
Jawaban:
a. p salah, q benar
p ^ q
: 100 + 500 = 800 dan 4 adalah faktor dari 12 (Salah)
Jadi, (p ^ q)
= S.
b.
(p) = B, (q) = B.
bilangan kuadrat (benar). Jadi, (p ^ q)
= B.
3. Disjungsi
Disjungsi adalah proposisi majemuk yang
menggunakan perangkai “atau”.
Proposisi
“p atau q” dinotasikan q
p.
Tidak seperti pernyataan berperangkai “dan” yang
mempersyaratkan terpenuhinya kebenaran semua
unsurnya, pernyataan berperangkai “atau” menawarkan suatu
pilihan, artinya jika paling tidak salah satu dari kedua
unsur proposisinya terpenuhi maka hal ini sudah cukup untuk pernyataan tersebut
dikatakan benar.
Operasi konjungsi sering juga ditunjukkan
dengan hubungan paralel pada rangkaian listrik seperti gambar berikut :
Gambar Rangkaian Paralel
Dari gambar rangkaian diatas menggunakan saklar
symbol saklar A diberi symbol p dan saklar B diberi symbol q. Saklar terbuka
(off) sebagai pernyataan benar, saklar tertutup (on) sebagai pernyataan
salah. Lampu yang dipasang pada rangkaian sebagai kebenaran dari pernyataan
tersebut.
1.
Jika saklar p dan q tertutup (on) ternyata
lampu menyala maka pernyataan bernilai benar
2.
Jika salah satu saklar p tertutup (on) dan q
terbuka (off), atau jika salah satu saklar p terbuak (off) dan q tertutup (on)
ternyata lampu menyala maka pernyataan bernilai benar.
3.
Jika keduanya saklar p dan q terbuka (off)
ternyata lampu juga tidak menyala, maka pernyataan bernilai salah.
Dari gambar rangkaian diatas tampak
bahwa lampu tidak menyala jika saklar p maupun q sama-sama terbuka atau
keduanya salah. Kita sarikan definisi konjungsi dengan tabel kebenaran berikut.
Tabel Kebenaran Disjungsi
Contoh
Tentukanlah nilai kebenaran untuk disjungsi dua
pernyataan yang diberikan !
a. p : 3 + 4 = 12
q :
Dua meter sama dengan 200 cm
b. p : 29 adalah bilangan prima
q :
Bandung adalah ibu kota Provinsi Jawa Barat
c. p : Dua garis yang sejajar
mempunyai titik potong
q : 
adalah
bilangan cacah.
adalah
bilangan cacah.
Jawaban:
a. (p) = S, (q) = B.
a. (p) = S, (q) = B.
Jadi, (p V q)
= B.
p V q
: 3 + 4 = 12 atau dua meter sama dengan 200 cm (benar).
b. (p) = B, (q) = B. Jadi,
(p V q)
= B.
p V q
: 29 adalah bilangan prima atau Bandung adalah ibukota Provinsi
Jawa barat (benar).
c. (p) = S, (q) = S. Jadi,
(p V q)
= S.
4. Implikasi
Untuk memahami implikasi, pelajarilah uraian
berikut. Misalnya, Elzan berjanji pada Gusrayani, “Jika Sore nanti tidak hujan,
maka saya akan mengajakmu nonton”. Janji Elzan ini hanyalah berlaku untuk
kondisi sore nanti tidak hujan. Akibatnya, jika sore nanti hujan, tidak ada
keharusan bagi Elzan untuk mengajak Gusrayani nonton.
Misalkan sore ini tidak hujan dan Elzan
mengajak Gusrayani nonton, Gusrayani tidak akan kecewa karena Elzan memenuhi
janjinya. Akan tetapi, jika sore ini hujan dan Elzan tetap mengajak Gusrayani
menonton, Gusrayani tentu merasa senang sekali. Jika sore ini hujan dan Elzan
tidak mengajak Gusrayani menonton, tentunya Gusrayani akan memakluminya.
Bagaimana jika sore ini tidak hujan dan Elzan tidak mengajak Gusrayani menonton?
Itu akan lain lagi ceritanya. Tentu saja Gusrayani akan kecewa dan menganggap
Elzan sebagai pembohong yang tidak menepati janjinya.
Misalkan,
p : Sore tidak hujan.
q : Elzan mengajak Gusrayani
menonton.
Pernyataan
“jika sore nanti tidak hujan, maka Elzan akan mengajak Gusrayani nonton”. Dapat dinyatakan sebagai “jika
p maka q” atau dilambangkan dengan “p
q”.
Suatu pernyataan majemuk dengan bentuk “jika p maka q” disebutimplikasi.
Misalkan
p dan q adalah pernyataan. Suatu implikasi (pernyataan bersyarat) adalah suatu
pernyataan majemuk dengan bentuk “jika p maka q”, dilambangkan dengan p
q.
Pernyataan p disebut hipotesis (ada
juga yang menamakananteseden) dari implikasi. Adapun
pernyataan q disebut konklusi (atau kesimpulan, dan ada juga
yang menamakankonsekuen). Implikasi bernilai salah hanya jika hipotesis p bernilai benar dan
konklusi q bernilai salah; untuk kasus lainnya adalah benar. Perhatikan tabel
berikut ini.
Tabel nilai kebenaran operasi implikasi
Terdapat perbedaan antara implikasi dalam
keseharian dan implikasi dalam logika matematika. Dalam keseharian, pernyataan
hipotesis/anteseden p haruslah memiliki hubungan dengan pernyataan
konklusi/konsekuen q. Misalnya, pada contoh implikasi sebelumnya, “Jika sore
nanti tidak hujan maka saya akan mengajakmu nonton”. Terdapat hubungan
sebab-akibat. Dalam logika matematika, pernyataan hipotesis/anteseden p tidak
harus memiliki hubungan dengan konklusi/konsekuen q. Untuk lebih jelasnya,
perhatikan Contoh dibawah ini.
Contoh:
Tentukanlah nilai kebenaran dari implikasi
berikut !
a. Jika 4 + 7 = 10 maka besi adalah benda
padat.
b. Jika 6 + 9 = 15 maka besi adalah benda cair.
c. Jika cos 30° = 0,5 maka 25 adalah bilangan
ganjil.
Jawab :
a. Jika 4 + 7 = 10 maka besi adalah
benda padat.
Alasan salah, kesimpulan benar. Jadi, implikasi bernilai benar.
b. Jika 6 + 9 = 15 maka besi adalah
benda cair.
Alasan benar,
kesimpulan salah. Jadi implikasi
bernilai salah.
c. Jika cos 30°= 0,5 maka 25
adalah bilangan ganjil.
Alasan salah,
kesimpulan salah. Jadi, implikasi
bernilai benar.
5. Biimplikasi
Perhatikanlah pernyataan berikut:
Jika sore ini hujan, maka jalan raya basah.
Jika jalan raya basah, apakah selalu disebabkan
oleh hujan? Tentu saja tidak selalu begitu, karena jalan raya basah bisa saja
disebabkan disiram, banjir, ataupun hal lainnya. Pernyataan seperti ini telah
kita ketahui sebagai sebuah implikasi.
Sekarang, perhatikan pernyataan berikut:
Jika orang masih hidup maka dia masih
bernafas.
Jika
seseorang masih bernafas, apakah bisa dipastikan orang tersebut masih hidup?
Ya, karena jika dia sudah tidak bernafas, pasti orang tersebut sudah meninggal.
Pernyataan yang demikian disebut biimplikasi atau bikondisional ataubersyarat ganda.
Pernyataan
biimplikasi dilambangkan dengan “” yang berarti “jika dan hanya jika”
disingkat “jhj” atau “jikka”. Biimplikasi “pq” ekuivalen dengan
“jika p maka q dan jika q maka p”,
dinotasikan sebagai: (p
q)
(q
p).
Misalkan p dan q adalah
pernyataan. Suatu biimplikasi adalah suatu pernyataan majemuk dengan
bentuk p jika dan hanya jika q dilambangkan
dengan p
q. Biimplikasi p dan q bernilai benar jika keduanya p dan q adalah benar
atau jika keduannya p dan q adalah salah; untuk kasus lainnya biimplikasi
adalah salah.
Tabel Nilai Kebenaran Biimplikasi:
Contoh:
Tentukan nilai kebenaran biimplikasi di bawah
ini!
a. 20 + 7 = 27 jika dan hanya jika 27 bukan bilangan prima.
B
B
b. 2 + 5 = 7 jika dan hanya jika 7 adalah bilangan genap.
c. tan2 45° +
cos 2 45° = 2 jika dan
hanya jika tan2 45° = 2
6. Negasi Dari Pernyataan Majemuk
Berikut ini adalah pembahasan tentang negasi
pernyataan majemuk, yaitu negasi suatu konjungsi, disjungsi, implikasi, dan
biimplikasi
1.
Negasi Suatu Konjungsi
Karena suatu konjungsi p ∧ q akan bernilai benar hanya jika kedua
komponennya bernilai benar. Maka negasi
suatu konjungsi p ∧ q adalah ~p ∨ ~q; sebagaimana ditunjukkan tabel kebenaran
berikut:
2. Negasi Suatu Disjungsi
Negasi suatu disjungsi p ∨ q
adalah ~p ∧ ~q
sebagaimana ditunjukkan tabel kebenaran berikut:
3. Negasi Suatu Implikasi
Negasi suatu implikasi p ⇒ q adalah p∧~q seperti ditunjukkan tabel kebenaran berikut
ini:
Dengan demikian, p ⇒ q ≡ ~[~ (p ⇒ q)] ≡ ~( p ∧ ~q) ≡ ~p ∨ q
4. Negasi Suatu Biimplikasi
Karena biimplikasi atau bikondisional p ⇔ q
ekuivalen dengan
(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p);
sehingga:
~ (p ⇔ q)
≡ ~[(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)]
≡
~[(~p ∨ q) ∧ (~q ∨ p)]
≡
~(~p ∨ q) ∨ ~(~q ∨ p)]
≡
(p ∧ ~q) ∨ (q ∧ ~p)
Tabel kebenaran dari suatu negasi, konjungsi,
disjungsi, implikasi, dan biimplikasi di atas merupakan dasar dalam mencari
nilai kebenaran pernyataan-pernyataan majemuk seperti di saat menentukan nilai
kebenaran pernyataan majemuk (~p ∧ r) ∨ (~r ⇒ q) seperti berikut ini
Contoh :
1Negasi dari jika adik belajar maka ia pandai
adalah adik belajar dan ia tidak pandai
SUMBER
