Makalah Matematika & Ilmu Alamiah Dasar
Disusun oleh :
Nama :
Rhaeditias Inggartika
Kelas :
1PA13
NPM :
15515863
Mata Kuliah :
Ilmu Alamiah Dasar
Dosen :
Tri Surawan
UNIVERSITAS GUNADARMA
FAKULTAS /JURUSAN PSIKOLOGI
2016
BAB 10
Himpunan Dan
Bilangan
6.1.
Pengertian, Penulisan, dan Macam Himpunan
Dalam matematika, himpunan adalah segala
koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Walaupun hal
ini merupakan ide yang sederhana, tidak salah jika himpunan
merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika
modern, dan karenanya, studi mengenai struktur kemungkinan himpunan dan teori himpunan, sangatlah berguna.(wikipedia)
Teori himpunan, yang baru diciptakan pada akhir abad ke-19, sekarang merupakan bagian yang tersebar dalam
pendidikan matematika yang mulai diperkenalkan bahkan sejak tingkat sekolah dasar. Teori ini merupakan bahasa untuk menjelaskan
matematika modern. Teori himpunan dapat dianggap sebagai dasar yang membangun
hampir semua aspek dari matematika dan merupakan sumber dari mana semua
matematika diturunkan.
Notasi Himpunan
Biasanya,
nama himpunan ditulis menggunakan huruf besar, misalnya S, A, atau B, sementara anggota himpunan
ditulis menggunakan huruf kecil (a, c, z). Cara penulisan ini adalah
yang umum dipakai, tetapi tidak membatasi bahwa setiap himpunan harus ditulis
dengan cara seperti itu. Tabel di bawah ini menunjukkan format penulisan
himpunan yang umum dipakai.
Nama
|
Notasi
|
|
Himpunan
|
Huruf besar
|
|
Anggota
himpunan
|
Huruf kecil (jika
merupakan huruf)
|
|
Kelas
|
Huruf tulisan tangan
|
Himpunan-himpunan
bilangan yang cukup dikenal, seperti bilangan kompleks, riil, bulat, dan
sebagainya, menggunakan notasi yang khusus.
Bilangan
|
Asli
|
Bulat
|
Rasional
|
Riil
|
Kompleks
|
Himpunan dapat didefinisikan dengan dua cara,
yaitu:
- Enumerasi, yaitu mendaftarkan semua anggota himpunan. Jika terlampau banyak tetapi mengikuti pola tertentu, dapat digunakan elipsis (...).
- Pembangun himpunan, tidak dengan mendaftar, tetapi dengan mendeskripsikan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh setiap anggota himpunan tersebut.
Notasi pembangun himpunan dapat menimbulkan
berbagai paradoks,
contohnya adalah himpunan berikut:
Himpunan A tidak mungkin ada, karena jika A
ada, berarti harus mengandung anggota yang bukan merupakan anggotanya. Namun
jika bukan anggotanya, lalu bagaimana mungkin A bisa mengandung anggota
tersebut.
Himpunan kosong
Himpunan
{apel, jeruk, mangga, pisang} memiliki anggota-anggota apel, jeruk, mangga, dan pisang. Himpunan lain, semisal
{5, 6} memiliki dua anggota, yaitu bilangan 5 dan 6. Kita boleh mendefinisikan
sebuah himpunan yang tidak memiliki anggota apa pun. Himpunan ini disebut
sebagai himpunan kosong.
Himpunan
kosong tidak memiliki anggota apa pun, ditulis sebagai:
Relasi antar himpunan
Himpunan
bagian
Dari
suatu himpunan, misalnya A = {apel, jeruk, mangga, pisang},
dapat dibuat himpunan-himpunan lain yang anggotanya adalah diambil dari
himpunan tersebut.
· {apel, jeruk}
· {jeruk, pisang}
· {apel, mangga, pisang}
Ketiga himpunan di atas memiliki sifat umum,
yaitu setiap anggota himpunan itu adalah juga anggota himpunan A. Himpunan-himpunan ini
disebut sebagai himpunan
bagian dari A. Jadi dapat dirumuskan:
B adalah
himpunan bagian dari A jika setiap anggota B juga terdapat dalam A.
Kalimat
di atas tetap benar untuk B himpunan kosong. Maka
juga
subhimpunan dari A.
Untuk sembarang himpunan A,
Definisi
di atas juga mencakup kemungkinan bahwa himpunan bagian dari A adalah A sendiri.
Untuk
sembarang himpunan A,
Istilah subhimpunan dari A biasanya berarti mencakup A sebagai himpunan bagiannya sendiri.
Kadang-kadang istilah ini juga dipakai untuk menyebut himpunan bagian dari A, tetapi bukan A sendiri. Pengertian mana yang
digunakan biasanya jelas dari konteksnya.
Himpunan
bagian sejati dari A menunjuk pada himpunan bagian dari A,
tetapi tidak mencakup Asendiri.
Superhimpunan
Kebalikan dari subhimpunan adalah superhimpunan, yaitu himpunan yang lebih besar yang mencakup himpunan tersebut.
Kesamaan dua himpunan
Himpunan A dan B disebut sama, jika setiap anggota A adalah anggota B, dan sebaliknya, setiap
anggota B adalah anggota A.
atau
Definisi di atas sangat berguna untuk
membuktikan bahwa dua himpunan A dan B adalah sama. Pertama, buktikan dahulu A adalah subhimpunan B, kemudian buktikan bahwa B adalah subhimpunanA.
Himpunan Kuasa
Himpunan
kuasa atau himpunan
pangkat (power
set) dari A adalah himpunan yang terdiri dari
seluruh himpunan bagian dari A.
Notasinya adalah
.
Jika A = {apel, jeruk, mangga, pisang},
maka
:
{ { },
{apel}, {jeruk}, {mangga}, {pisang},
{apel, jeruk}, {apel, mangga}, {apel, pisang},
{jeruk, mangga}, {jeruk, pisang}, {mangga, pisang},
{apel, jeruk, mangga}, {apel, jeruk, pisang}, {apel, mangga, pisang},
{jeruk, mangga, pisang},
{apel, jeruk, mangga, pisang} }
Banyaknya anggota yang terkandung dalam
himpunan kuasa dari A adalah 2 pangkat banyaknya anggota A.
Kelas
Suatu himpunan disebut sebagai kelas, atau keluarga himpunan jika himpunan tersebut Terdiri dari
himpunan-himpunan.Himpunan
adalah sebuah
keluarga himpunan. Perhatikan bahwa untuk sembarang himpunan A, maka himpunan kuasanya,
adalah sebuah
keluarga himpunan. Contoh berikut,
bukanlah sebuah
kelas, karena mengandung anggota c yang bukan himpunan.
Kardinalitas
Kardinalitas dari sebuah himpunan dapat
dimengerti sebagai ukuran banyaknya anggota yang dikandung oleh himpunan
tersebut. Banyaknya anggota himpunan
adalah 4. Himpunan
juga memiliki
anggota sejumlah 4. Berarti kedua himpunan tersebut ekivalen satu sama lain,
atau dikatakan memiliki kardinalitas yang sama.
Dua buah himpunan A dan B memiliki kardinalitas yang sama, jika
terdapat fungsi korespondensi satu-satu yang memetakan A pada B.
Karena dengan mudah kita membuat fungsi
yang memetakan
satu-satu dan kepada himpunan A ke B,
maka kedua himpunan tersebut memiliki kardinalitas yang sama.
Himpunan Denumerabel
Jika sebuah himpunan ekivalen dengan himpunan
, yaitu himpunan bilangan asli, maka himpunan tersebut disebut denumerabel. Kardinalitas dari
himpunan tersebut disebut sebagai kardinalitas
.
Himpunan semua bilangan genap positif merupakan
himpunan denumerabel, karena memiliki korespondensi satu-satu antara himpunan
tersebut dengan himpunan bilangan asli, yang dinyatakan oleh
.
Himpunan Berhingga
Jika sebuah himpunan memiliki kardinalitas yang
kurang dari kardinalitas
, maka himpunan tersebut adalah himpunan berhingga.
Himpunan Tercacah
Himpunan disebut tercacah jika himpunan tersebut
adalah berhingga atau denumerabel.
Himpunan Non-Denumerabel
Himpunan yang tidak tercacah disebut himpunan
non-denumerabel. Contoh dari himpunan ini adalah himpunan semua bilangan riil.
Kardinalitas dari himpunan jenis ini disebut sebagai kardinalitas
. Pembuktian bahwa bilangan riil tidak denumerabel dapat
menggunakan pembuktian diagonal.
Himpunan bilangan riil dalam interval (0,1)
juga memiliki kardinalitas
, karena terdapat korespondensi satu-satu dari himpunan
tersebut dengan himpunan seluruh bilangan riil, yang salah satunya adalah
.
Fungsi
Karakteristik
Fungsi karakteristik menunjukkan apakah sebuah
anggota terdapat dalam sebuah himpunan atau tidak.
Jika
maka:
Terdapat korespondensi satu-satu antara
himpunan kuasa
dengan himpunan
dari semua fungsi karakteristik dari S.
Hal ini mengakibatkan kita dapat menuliskan himpunan sebagai barisan bilangan 0
dan 1, yang menyatakan ada tidaknya sebuah anggota dalam himpunan tersebut.
Representasi Biner
Jika konteks pembicaraan adalah pada sebuah
himpunan semesta S, maka
setiap himpunan bagian dariS bisa
dituliskan dalam barisan angka 0 dan 1, atau disebut juga bentuk biner. Bilangan biner menggunakan
angka 1 dan 0 pada setiap digitnya. Setiap
posisi bit dikaitkan dengan masing-masing anggota S, sehingga nilai 1 menunjukkan
bahwa anggota tersebut ada, dan nilai 0 menunjukkan bahwa anggota tersebut
tidak ada. Dengan kata lain, masing-masing bit merupakan fungsi karakteristik
dari himpunan tersebut. Sebagai contoh, jika himpunan S = {a, b, c, d, e, f, g}, A = {a, c, e, f}, dan B = {b,
c, d, f}, maka:
Himpunan Representasi Biner
---------------------------- -------------------
a b c d e f g
S = { a, b, c, d, e, f, g } --> 1 1 1 1 1 1 1
A = { a, c, e, f } --> 1 0 1 0 1 1 0
B = { b, c, d, f } --> 0 1 1 1 0 1 0
Cara menyatakan himpunan seperti ini sangat
menguntungkan untuk melakukan operasi-operasi himpunan, seperti union (gabungan), interseksi (irisan), dan komplemen (pelengkap), karena kita tinggal
menggunakan operasi bit untuk melakukannya. Representasi
himpunan dalam bentuk biner dipakai oleh kompiler-kompiler Pascal dan juga Delphi.
Operasi dasar
1) Gabungan
Gabungan antara himpunan A dan B.
Dua himpunan atau lebih yang digabungkan
bersama-sama. Operasi gabungan {{nowrap|1=A ∪ B setara
dengan A or B, dan anggota himpunannya
adalah semua anggota yang termasuk himpunan A ataupunB.
Contoh:
·
{1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}.
·
{1, 2} ∪ {2, 3} = {1, 2, 3}.
·
{Budi} ∪ {Dani} = {Budi, Dani}.
Beberapa
sifat dasar gabungan:
·
A ∪ B = B ∪ A.
·
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C.
·
A ⊆ (A ∪ B).
·
A ∪ A = A.
·
A ∪ ∅ = A.
·
A ⊆ B jika and hanya jika A ∪ B = B.
2) Irisan
Irisan antara himpunan A dan B.
Operasi irisan A ∩ B setara dengan A dan B. Irisan merupakan himpunan
baru yang anggotanya terdiri dari anggota yang dimiliki bersama antara dua atau
lebih himpunan yang terhubung. Jika A ∩ B = ∅, maka A dan B dapat dikatakan disjoint (terpisah).
Contoh:
·
{1, 2} ∩
{1, 2} = {1, 2}.
·
{1, 2} ∩
{2, 3} = {2}.
·
{Budi,Cici}
∩ {Dani,Cici} = {Cici}.
·
{Budi} ∩
{Dani} = ∅.
Beberapa
sifat dasar irisan:
·
A ∩ B = B ∩ A.
·
A ∩ (B ∩ C)
= (A ∩ B) ∩ C.
·
A ∩ B ⊆ A.
·
A ∩ A = A.
·
A ∩ ∅ = ∅.
·
A ⊂ B jika and hanya jika A ∩ B = A.
3) Komplemen
Komplemen B terhadap A.
Komplemen A terhadap U.
Diferensi simetris himpunan A danB
Operasi pelengkap A^C setara
dengan not A atau A'.
Operasi komplemen merupakan operasi yang anggotanya terdiri dari anggota di
luar himpunan tersebut.
Contoh:
·
{1, 2} \
{1, 2} = ∅.
·
{1, 2,
3, 4} \ {1, 3} = {2, 4}.
Beberapa
sifat dasar komplemen:
·
A \ B ≠ B \ A untuk A ≠ B.
·
A ∪ A′ = U.
·
A ∩ A′ = ∅.
·
(A′)′
= A.
·
A \ A = ∅.
·
U′ = ∅ dan ∅′ = U.
·
A \ B = A ∩ B′.
Ekstensi
dari komplemen adalah diferensi simetris (pengurangan himpunan), jika
diterapkan untuk himpunan A dan B atau A - B menghasilkan
Contohnya, diferensi simetris antara:
·
{7,8,9,10}
dan {9,10,11,12} adalah {7,8,11,12}.
·
{Ana,Budi,Dedi,Felix}
dan {Cici,Budi,Dedi,Ela} adalah {Ana,Cici,Ela,Felix}.
Hasil Kali
Kartesian
Produk kertesian (perkalian himpunan) A X B (A
dan B) dan anggota himpunan A={x,y,z} dan B={1,2,3}.
Hasil Kali Kartesian atau perkalian himpunan
merupakan operasi yang menggabungkan anggota suatu himpunan dengan himpunan
lainnya. Perkalian himpunan antara A dan B didefinisikan dengan A × B.
Anggota himpunan | A × B | adalah pasangan
terurut (a,b) dimana a adalah
anggota himpunan A dan b adalah anggota himpunan B. Contoh:
·
{1, 2} ×
{x, y} = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y)}.
·
{1, 2} ×
{a, b, c} = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c) }.
·
{1, 2} ×
{1, 2} = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.
Beberapa
sifat dasar himpunan perkalian:
·
A × ∅ = ∅.
·
A × (B ∪ C) = (A × B)
∪ (A × C).
·
(A ∪ B) × C = (A × C)
∪ (B × C).
·
| A × B |
= | B × A | = | A | × | B |
6.2. Diagram Venn
Diagram
Venn atau diagram
set adalah diagram yang menunjukkan semua kemungkinan hubungan logika dan hipotesis di antara sekelompok (set/himpunan/grup)
benda/objek. Sebagai bagian ilmu matematika, diagram Venn ini pertama kali diperkenalkan
pada tahun 1880 oleh John Venn untuk menunjukkan hubungan sederhana
dalam topik-topik di bidang logika, probabilitas, statistik, linguistik dan ilmu komputer.
Hubungan antara set A, B dan C
Diagram
Venn dari 4 set
|
6.3. Operasi antara Himpunan
Dalam
matematika, himpunan adalah segala koleksi benda-benda
tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini
merupakan ide yang sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan
salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika modern, dan
karenanya, studi mengenai struktur kemungkinan himpunan dan teori
himpunan, sangatlah berguna.
Irisan
dari dua himpunan yang dinyatakan dengan diagram Venn
Teori
himpunan, yang baru diciptakan pada akhir abad ke-19, sekarang merupakan
bagian yang tersebar dalam pendidikan matematika yang mulai diperkenalkan
bahkan sejak tingkat sekolah dasar.Teori ini merupakan bahasa untuk
menjelaskan matematika modern. Teori himpunan dapat dianggap sebagai dasar yang
membangun hampir semua aspek dari matematika dan merupakan sumber dari mana
semua matematika diturunkan.
A.
Anggota Himpunan
a.
Untuk menyatakan suatu benda (objek) yang
merupakan anggota himpunan dilambangkan " ∈" dan jika bukan anggota dilambangkan
" ".
b. Himpunan terhingga dan tak terhingga Himpunan
terhingga adalah himpunan yang anggotanya tertentu. Himpunan tak terhingga
adalah himpunan yang anggotanya tak terbatas jumlahnya.
B.
Himpunan Kosong
Himpunan
kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota Notasi himpunan kosong
adalah { } atau {0} bukan himpunan kosong karena mempunyai anggota yaitu “nol”.
C.
Himpunan bagian
A
himpunan bagian dari B jika setiap anggota A merupakan anggota himpunan B dan
ditulis "A( B". Jika banyaknya anggota suatu himpunan A adalah n(A),
maka banyaknya himpunan bagian dari A adalah 2n(A)
D.
Himpunan semesta
Himpunan
semesta adalah himpunan yang memuat semua obyek yang dibicarakan. notasi
"S".
E.
Diagram Venn
Diagram
Venn digunakan untuk menyatakan suatu himpunan atau hubungan antar himpunan.
F.Menyatakan
suatu Himpunan
1.
Dengan kata-kata
Dengan
cara menyebutkan semua syarat/sifat keanggotaannya.
Contoh:
P adalah himpunan bilangan prima antara 10 dan 40, ditulis P = {bilangan prima
antara 10 dan 40}.
2.
Dengan notasi pembentuk himpunan
Sama
seperti menyatakan himpunan dengan kata-kata, pada cara ini disebutkan semua
syarat/sifat keanggotannya. Namun, anggota himpunan dinyatakan dengan suatu
peubah. Peubah yang biasa digunakan adalah x atau y. Contoh: P : {bilangan
prima antara 10 dan 40}. Dengan notasi pembentuk himpunan, ditulis P = {10 <
x < 40, x €bilangan prima}.
3. Dengan
mendaftar anggota-anggotanya
Dengan
cara menyebutkan anggota-anggotanya, menuliskannya dengan menggunakan kurung
kurawal, dan anggotaanggotanya dipisahkan dengan tanda koma. Contoh: P =
{11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37}
G.Operasi
Antar Himpunan dan Diagram Venn-nya
1. Irisan
himpunan
A irisan
B ditulis A ∩ B = {x | x ∈ A dan x ∈ B}
2. Gabungan
Himpunan
A
gabungan B ditulis A ∪ B = {x | x ∈ A atau x ∈ B}
3. Komplemen
himpunan
Komplemen
A ditulis A1 atau Ac = {x | x ∈ S dan x ∈ A}
H.
Operasi Pada Himpunan
Jika S adalah
himpunan semesta dan himpunan A Ì S , komplemen dari A ,
ditulis A’ , adalah himpunan dari semua anggota
S yang bukan merupakan anggota A .
A’ = { x | x ÏA }
Gabungan
(union) himpunan A dan himpunan B, ditulis sebagai A È B, adalah
sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota A atau anggota
B atau anggota keduanya.
A È B = {
x | x ÎA atau x ÎB }
Irisan
(interseksi) himpunan A dan himpunan B, ditulis sebagai A Ç B, adalah
sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota bersama dari himpunan
A dan B.
A Ç B = {
x | x ÎA dan x ÎB }
Selisih
(difference) dari himpunan A dengan himpunan B, ditulis sebagai A - B,
adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota himpunan
A yang bukan merupakan anggota himpunan B.
A - B = {
x | x ÎA dan x ÏB }.
Jelas
bahwa
B - A = {
x | x ÎB dan x ÏA }.
Selisih
simetri (symetric difference) dari himpunan A dengan himpunan B, ditulis
sebagai A D B, adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan
anggota gabungan himpunan A dan B, tetapi bukan merupakan anggota
irisan himpunan A dan B.
A D B = (
A È B ) – ( A Ç B )
atau
A D B = ( A – B
) È ( B - A ).
6.4. Himpunan Bilangan dan Skemanya
1. Himpunan bilangan asli
Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif.
1. Himpunan bilangan asli
Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif.
N = {1,2,3,4,5,6,......}
2. Himpunan
bilangan prima
Himpunan bilangan prima adalah himpunan bilangan-bilangan asli yang hanya dapat dibagi dirinya sendiri dan satu, kecuali angka 1.
Himpunan bilangan prima adalah himpunan bilangan-bilangan asli yang hanya dapat dibagi dirinya sendiri dan satu, kecuali angka 1.
P = {2,3,5,7,11,13,....}
3. Himpunan bilangan cacah
Himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif digabung dengan nol.
C = {0,1,2,3,4,5,6,....}
Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya seluruh bilangan bulat, baik negatif, nol, dan positif.
B = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
5. Himpunan bilangan rasional
Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggonya merupakan bilangan yang dapat dinyatakan sebagai:
p/q dimana p,q Î bulat dan q ¹ 0 atau dapat dinyatakan sebagai suatu desimal
berulang.
contoh: 0,-2, 2/7, 5, 2/11, dan lain lain
6. Himpunan
bilangan irasional
Himpunan bilangan irasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya
tidak dapat dinyatakan sebagai sebagai p/q atau tidak dapat dinyatakan sebagai
suatu desimal berulang.
contoh: log 2, e, Ö7
7. Himpunan
bilangan riil
Himpunan
bilangan riil adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan irasional.
contoh: log 10, 5/8, -3, 0, 3
8. Himpunan
bilangan imajiner
Himpunan bilangan imajiner adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya
merupakan i (satuan imajiner) dimana i merupakan lambang bilangan baru yang
bersifat i² = -1
contoh: i, 4i, 5i
9. Himpunan
bilangan kompleks
Himpunan bilangan kompleks adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya (a
+ bi) dimana a, b Î R, i² = -1, dengan a bagian riil dan b bagian imajiner.
contoh: 2-3i, 8+2
6.5. Bilangan Bulat dan Rill
Bilangan
bulat
Bilangan
bulat terdiri dari bilangan asli ( 1, 2, 3, …), bentuk negatifnya
(-1, -2, -3, …) dan bilangan nol. Bilangan bulat dapat dituliskan tanpa
komponen desimal atau pecahan. Jika ditinjau dari segi nama, bilangan bulat
pasti sesuatu yang bulat. Maksudnya bilangan ini adalah bilangan utuh.
Himpunan
semua bilangan bulat dalam matematika dilambangkan dengan Z,
berasal dari Zahlen(bahasa Jerman untuk
“bilangan”).
Sifat-sifat
Himpunan
Z tertutup di bawah operasi penambahan dan perkalian. Artinya, jumlah dan hasil
kali dua bilangan bulat juga bilangan bulat. Namun berbeda dengan bilangan
asli, Z juga tertutup di bawah operasi pengurangan. Hasil pembagian dua
bilangan bulat belum tentu bilangan bulat pula, karena itu Z tidak tertutup di
bawah pembagian.
Contoh:
2 x 3
akan menghasilkan 6 dimana 2 adalah bilangan bulat, 3 adalah bilangan bulat dan
6 adalah bilangan bulat.
2 – 3
akan menghasilkan -1 dengan -1 adalah bilangan bulat negatif
2 + 3
akan menghasilkan 5 dengan 5 adalah bilangan bulat positif
sedangkan
2 / 3 akan menghasilkan 0,67 dimana 0,67 (pembulatan) adalah bilangan riil /
bilangan asli.
Bisa
juga bilangan bulat dibagi bilangan bulat menghasilkan bilangan bulat. Sebagai
contoh:
4 / 2
akan menghasilkan 2 dengan 2 adalah bilangan bulat.
Bilangan
bulat sebagai tipe data dalam bahasa pemrograman
Bilangan
bulat (integer) merupakan salah satu tipe data dasar dalam berbagai bahasa
pemrograman. Contohnya dalam bahasa Pascal terdapat tipe data bernama integer.
Dalam alokasi memori, integer memerlukan 2 byte (16 bit) data di memori yang
artinya dapat menampung nilai hingga 2^16. Namun karena integer didefinisikan
sebagai type data signed tipe data integer hanya mampu di-assign nilai antara
-32768 sampai 32767.
Apa itu signed? Signed maksudnya bilangan tersebut
memiliki tanda. Sebagaimana tanda – atau + di depan bilangan yang menunjukkan
nilai negatif atau positif. Lalu kenapa hanya bisa menampung nilai antara
-32768 hingga 32768 saja? Hal ini disebabkan karena 1 bit digunakan sebagai
penanda positif/negatif. Meskipun memiliki istilah yang sama, tetapi tipe data
integer pada bahasa pemrograman Visual Basic .NET, Delphi, dan Bahasa D memiliki ukuran 4 byte atau 32 bit signed
sehingga dapat di-assign nilai antara -2,147,483,648 hingga 2,147,483,647.
Bilangan
riil
Dalam
matematika, bilangan riil atau bilangan real menyatakan angka yang bisa
dituliskan dalam bentuk desimal, seperti 2,4871773339… atau 3.25678. Dalam
notasi penulisan bahasa Indonesia, bilangan desimal adalah bilangan yang
memiliki angka di belakang koma “,” sedangkan menurut notasi ilmiah /
scientific notation bilangan desimal adalah bilangan yang memiliki angka di
belakang tanda titik “.”. Okelah kita nggak usah meributkan perbedaan itu. Yang
penting kita tahu dan mengerti maksud dari bilangan riil.
Bilangan real
merupakan gabungan bilangan rasional, seperti 42 dan −23/129, dan
bilangan irasional, seperti π dan akar2, dan dapat direpresentasikan
sebagai salah satu titik dalam garis bilangan. Definisi popular dari bilangan
real meliputi klas ekivalen dari deret Cauchy rasional, irisan
Dedekind, dan deret Archimides.
Himpunan
semua bilangan riil dalam matematika dilambangkan dengan R (pasti
udah bisa nebak, simbol R berasal dari kata “Real”).
Sifat-sifat
Himpunan
R tertutup untuk semua operasi. Artinya bilangan riil yang dioperasikan akan
menghasilkan bilangan riil juga
Contoh:
2,5 x
3,7 akan menghasilkan 9,25 dimana 2,5 adalah bilangan riil, 3.7 adalah bilangan
riil dan 9,25 adalah bilangan riil.
2,5 –
3,7 akan menghasilkan -1,2 dengan -1,2 adalah bilangan riil negatif (dalam kasus
2,5 – 3,5 dihasilkan nilai -1,0)
2,5 +
3,7 akan menghasilkan 6,2 dengan 6,2 adalah bilangan riil positif
2,5 /
3,7 akan menghasilkan 0,675 dimana 0,675 (pembulatan) adalah bilangan riil /
bilangan asli.
Bisa
juga bilangan bulat dibagi bilangan bulat menghasilkan bilangan bulat. Sebagai
contoh:
4 / 2
akan menghasilkan 2 dengan 2 adalah bilangan bulat.
Bilangan
riil sebagai tipe data dalam bahasa pemrograman
Bilangan
riil (real atau floating point) merupakan salah satu tipe data dasar dalam
berbagai bahasa pemrograman. Contohnya dalam bahasa Pascal terdapat tipe data
bernama real. Dalam alokasi memori, real memerlukan 6 byte (48 bit)
data di memori. Namun karena real “juga” didefinisikan sebagai type data signed
tipe data real hanya mampu di-assign nilai antara 2.9 x 10^-39 s/d 1.7
x10^38.
SUMBER
http://trisofiya.wordpress.com/2013/06/07/tugas-matematika-iad-tentanng-bilagan-bulat-bilangan-riil/
Tidak ada komentar:
Posting Komentar